Его отцом был известный ростовский адвокат Иван Иосифович Плят, по происхождению "поляк, правда сильно обрусевший", матерью - Зинаида Ивановна Закаменная, украинка родом из Полтавы.
В своих мемуарах Плятт писал:"Мне рассказывали, что у моей колыбели сходились две бабки - Жозефина Феликсовна, мать отца, и Александра Лукинична, мамина мать, - и начиналась тихая битва.
Одна следила, чтобы дитя не усвоило ничего из хохлацкой речи, другая, наоборот, охраняла слух ребёнка от всяческих полонизмов.
Успеха добились обе: когда я вырос, выяснилось, что я не знаю ни одного языка, кроме русского".Начав со школьного театрального кружка, в мечтах Слава уже видел своё имя на афише.